La Demanda Individual y la Demanda de Mercado

 

LEYES DE LA DEMANDA

HOMOGENEIDAD DE GRADO CERO EN PRECIOS E INGRESO

PROPIEDAD DE COMPENSACIÓN : LOS EFECTOS INGRESOS SE DEBEN COMPENSAR

EFECTO SUSTITUCIÓN NEGATIVO

EFECTOS CRUZADOS SIMÉTRICOS

ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN ALLEN ( s ij )


LEYES DE LA DEMANDA

Ahora se analizarán las propiedades de las curvas de demanda, a partir de los supuestos que se han visto. Suponemos que el análisis se basa en mercados normales (competencia perfecta desde el punto de vista de la oferta y demanda, información perfecta, no hay regulaciones, etc.), en los cuales el individuo puede comprar cantidades ilimitadas de cada bien a un precio fijo.

El problema del consumidor es el siguiente (suponemos optimización bivariada) :

Max U(x1, x2) sujeto a p1 × x1 + p2 × x2 = I

en donde I es el ingreso monetario que viene dado exógenamente.

La exprensión del Lagrange es :

Obtenemos las condiciones de primer orden (CPO) para una solución interior :

A partir de los supuestos que se han planteado, esto implicaría una única solución para las variables x1, x2 y l . De las 3 ecuaciones se deduce que; l mide la utilidad marginal por peso gastado en cada bien, o la utilidad marginal del ingresp. Para resolver estas tres ecuaciones se elimina l de modo de obtener las siguientes dos ecuaciones :

La primera ecuación nos dice que debemos cumplir con la restricción presupuestaria y la segunda implica la tangencia de la curva de indiferencia con la línea de presupuesto, es decir, dado el presupuesto limitado alcanzar el nivel de utilidad máximo.

Las condiciones de segundo orden (CSO) son las siguientes :

Cualquier movimiento (que cumpla con el presupuesto) fuera del óptimo lo llevará hacia abajo por la curva de indiferencia (dado la Tasa Marginal de Sustitución Decreciente, vale decir : el consumidor estará dispuesto a intercambiar una menor cantidad de x2 a medida que se consume más del otro bien, manteniéndose la utilidad constante). Esto significa que se debe cumplir con la estricta Cuasiconcavidad de la función de utilidad.

El sistema de ecuaciones de las CPO nos entrega la solución a un problema particular, con precios e ingreso dados. Dado que la solución de las CPO sólo depende de los precios, ingreso y la función de utilidad (p1 , p2 , I y U), se tiene que para una función de utilidad dada, las funciones de demanda marshalliana (ordinarias, que incluyen efecto sustitución e ingreso) son :

x1 = ƒ1 (p1, p2, I)

x2 = ƒ2 (p1, p2, I)

l = ƒ3 (p1, p2, I)

Nota Técnica : Significado Multiplicador de Lagrange

Condición de Equilibrio de Primer Orden : con l * > 0

con la restricción :

l : Utilidad Marginal del Ingreso : tasa de cambio de la Función Objetivo (Función de Utilidad) cuando se libera en una unidad la función Restricción (línea de presupuesto).

Conceptualmente, el consumidor alcanza su equilibrio cuando la utilidad marginal de su ingreso gastado en la compra de bienes es idéntica en cada uno de ellos.

Dado los supuestos enunciados, se obtiene funciones de demanda bien definidas y continuas. Una pregunta importante está presente : ¿qué propiedad deben tener estas Funciones de Demanda Marshalliana, asumiendo que se derivan del proceso de maximización de utilidad del consumidor?

Suponiendo que en un trabajo empírico se busca utilizar una forma particular de función de demanda (o un sistema de esas ecuaciones), ¿qué restricciones se le deben imponer para ser consistentes con la maximización de la utilidad?. Se tienen 4 restricciones examinando cómo la demanda responde a :

    1. cambios simultáneos en todos los precios e ingreso
    2. cambio en el ingreso
    3. cambio en el precio del bien
    4. cambio en el precio de un bien relacionado

Nota Técnica : Condiciones de Kuhn-Tucker para soluciones esquina.

(véase en págs. anexas)


HOMOGENEIDAD DE GRADO CERO EN PRECIOS E INGRESO :

      Suponemos que se aumentan al doble los precios (p1 y p2) y el ingreso (I). Sabemos que la línea de presupuesto no se moverá y por lo tanto la demanda no cambiará (se descarta ilusión monetaria dado el supuesto de consistencia). Función de Demana Marshalliana son Homogéneas de Grado Cero en precios e ingreso. Veamos la demostración al Teorema de Euler como caso general del grado de homogeneidad de una función.

      Nota Técnica : Homogeneidad y Demostración Teorema de Euler

      Funciones Homogéneas : Si U = U(x1, x2) es linealmente homogénea (HG1), entonces :

      Demostración :

      Debemos observar que este resultado es válido para cualquier valor de x1 y x2, esto es debido a que la propiedad puede plantearse como una identidad. Esta propiedad nos dice que el valor de una función linealmente homogénea puede siempre expresarse como una suma de términos, cada uno de los cuales es el producto de una de las variables independientes y la derivada parcial de primer orden con respecto a esa variable, independiente del nivel de los dos bienes consumidos.

      Sin embargo, se debe tener cuidado en distinguir entre la identidad : (Teorema de Euler particular que se aplica sólo en el caso de funciones linealmente homogéneas de grado 1) y la ecuación : [Diferencial Total de U, para cualquier función U = U(x1, x2)]

      Esta propiedad implica que en condiciones de homogeneidad de grado 1, si a cada bien se le amplifica por su utilidad marginal, la utilidad total se distribuye exactamente entre todos los bienes en función de su participación.

      Generalización de los resultados :

      Es posible extender los resultados anteriores al caso de n variables. Se tiene una función lineal homogénea.

      y = ƒ(x1, x2, ..., xn)

      Se puede dividir cada variable por x1 y obtener lo siguiente :

      Asimismo, el Teorema de Euler se puede expresar como :

      donde las derivadas parciales de la función original ƒ (ƒI’) son homogeneas de grado cero en las variables xi. Lo anterior se puede generalizar a funciones homogéneas de grado r. Veamos,

      (homogenea de grado r)

      La versión modificada del Teorema de Euler es :

      donde se agregó a la variable dependiente y una constante multiplicativa r. Luego las derivadas parciales de la función original ƒ (ƒI’), serán homogéneas de grado (r - 1) en las variables xi. Las funciones linealmente homogénas son sólo un caso particualr, en el cual r = 1.

      Por lo tanto, si se utiliza una función de demanda marshalliana general :

      xi = ƒ(p1, ......, pn, I)

      se sigue del Teorema de Euler :

      Se divide por xi, se obtiene una de las tres fórmulas de elasticidades :

      en donde : es la elasticidad precio de xi respecto al precio de j y es la elasticidad ingreso de xi .

      Supongamos que la curva de demanda (marshalliana) es :

      ¿Qué restricciones se deben imponer a los coeficientes? :

      Demostración alternativa :

      La función de demanda marshalliana de x1 se define como : x1 = ƒ(p1, pj, I)


PROPIEDAD DE COMPENSACIÓN : LOS EFECTOS INGRESOS SE DEBEN COMPENSAR

      Ahora suponemos que sólo el ingreso varía, pero se tiene un sistema de ecuaciones de demanda. ¿Qué limitaciones afectan la respuesta de las diferentes cantidades demandadas a cambios en el ingreso?. El límite viene de la identidad de presupuesto?.

      Si

      los precios se mantienen constantes luego :

      El promedio ponderado de las elasticidades ingreso de demanda es igual a la unidad, los ponderados son las participaciones relativas de cada bien en el gasto total. De aquí se deduce que si algunos bienes como los alimentos tienen elasticidades ingreso menor a la unidad, otros bienes como los conciertos (opera) deben tener elasticidades ingreso mayor a la unidad. Esta ecuación impone límites a la arbitrariedad de asignar elasticidades ingreso a los distintos bienes. Si el individuo consume n bienes y se ha asignado la elasticidad ingreso a (n - 1) bienes queda automáticamente establecido la del n-ésimo bien.


EFECTO SUSTITUCIÓN NEGATIVO

Una de las Leyes de Demanda más importantes se refiere a que la curva de demanda compensada tiene pendiente negativa, es decir, si p1 aumenta (dp1 > 0) y el ingreso (I) se ajusta simultáneamente de modo de mantener el nivel de utilidad original constante, x1 debe disminuir. Se deduce de los supuestos analizados anteriormente que x1 disminuye o se mantiene constante (supuesto de diferenciabilidad asegura que no sea constante).

Esto no describe a la curva de demanda ordinaria o marshalliana (que mantiene constante el ingreso y no la utilidad) . Se puede pensar en un efecto bruto de un aumento de precio (sobre la curva de demanda marshalliana) que consiste en : el efecto cuando se paga la compensación (efecto sustitución), más el efecto de remover aquella compensación (efecto ingreso).

Si se está comprando x1 unidades y el precio de ese bien aumeta en $1, se requieren $x1 para poder comprar la canasta inicial (x1, x2).

Por lo tanto;

La compensación de utiliad que se requiere para enfrentar un aumento de una unidad en p1 es aproximadamente x1. La aproximación se debe a que si yo compro ahora menos que x1, se necesita una compensación menor a x1. Pero a media que dp1 ® 0, la compensación requeridda para un cambio unitario en el precio tiende a x1 (véase en próximas clases, Cambios en el Bienestar).

Luego, el efecto ingreso de un aumento unitario en p1 es :

La Descomposición Hicks-Slutsky del efecto bruto de un cambio de precios es :

En el caso particular del cambio del propio precio, la pendiente absoluta de la curva de demanda ordinaria debe ser menor que la de la demanda compensada parra cualquier bien normal o superior . Para diferentes fines es útil expresar la Ecuación General y Particular de Slutsky en términos de elasticidades.

Si se multiplica por y se multiplica y divide el último término por I se tiene:

donde el * indica el efecto compensado.

El cambio en el ingreso monetario que se requiere para mantener constante el poder de compra (ingreso real) del consumidor cuando se producen cambios en el precio de los bienes : suponemos constante p2 frente a cambios en p1, por lo tanto, la cantidad de ingrreso que se le debe "quitar" (o regalar en el caso que el precio aumente) que permita la compra de la canasta inicial es :

El "regalo" que percibe el consumidor al mantener constante su ingreso monetario ante una baja hipotética en el precio de x1 es :

Si dp1 < 0 Þ el individuo recibe una cantidad positiva de monto I0 [igual a la menor cantidad de ingreso que se gasta en x1 y x2 para adquirir la canasta original debido a dp1 < 0 ].

El efecto bruto puede ser positivo si el término es también positivo y lo suficientemente grande para compensar el efecto sustitución negativo. Este el caso del bien Giffen, en donde el efecto sustitución de un aumento de precios va desde A a B, pero el efecto ingreso es de B a C.

, para que sea positivo, . Por lo tanto, un bien con una elasticidad ingreso igual a -1 necesariamente requiere una elasticidad precio compensada menor a la participación relativa del bien para ser un bien Giffen. Esto es poco probable en la realidad. (véase gráfico)

La elasticidad de compensación no puede ser directamente observada, sin embargo se requiere que sea negativa y esto impone una restricción a la elasticidad precio e ingreso, que si son observables.

Conclusiones :

Nota Técnica : Demanda con Ingreso Real Constante según Hicks y Slutsky (diferencias metodológicas)

Conclusiones :

para un dp1 > 0. El individuo consume menos de x1 por que éste es más caro y también por que Slutsky es más generoso que Hicks.


EFECTOS CRUZADOS SIMÉTRICOS

Lo visto anteriormente nos lleva a examinar el patrón de los efectos cruzados, en donde i = 1 y j = 2, se tiene :

Dado que (por Teorema de Young; véase Nota Técnica al respecto), se concluye que :

(Propiedad de Simetría ; véase Demostración en Nota Técnica)

Los efectos de sustitución cruzados simétricos no son directamente observables, pero tienen la siguiente implicancia para la estructura de la funciones de demanda ordinaria.

Efectos de Sustitución Simétricos Cruzados :

Dado que : y la Ecuación de Slutsky relevante se cumple para cada uno de los términos, la curva de demanda ordinaria presenta la siguiente propiedad :

Cualquier par de bienes (i, j) para los cuales, se denominan sustitutos brutos (< 0 complementos brutos). Si evaluamos los efectos cruzados de la función de demanda ordinaria no referimos a sustitutos o complementos brutos. Si evaluamos los efectos cruzados compensados, los denominamos sustitutos o complementos Hicks-Alllen o netos.

Es posible que simultáneamente este par de bienes sea sustituto neto y complementos brutos. Veamos la versión de elasticidad de la Ecuación General Slutsky :

A partir de la ecuación de Slutsky se puede derivar lo siguiente : sumando los efectos producto del cambio de precios sobre la demanda del bien x1, se tiene :

Utilizando la Propiedad de Homogeneidad de Grado Cero en Precios e Ingreso de la Demanda Ordinaria, es decir : , se obtiene que :

Esta es la Tercera Fórmula de Elasticidades : La Curva de Demanda Compensada es Homogénea de Grado Cero en precios, vale decir, si todos los precios de los bienes que el individuo efectivamente consume, cambian proporcionalmente, mientras el ingreso cambia para mantener la utilidad constante, la demanda de cada bien, i y j no se ve afectada.

Si se doblan p1, p2 y I, dado que se deduce que al menos un bien (i ¹ j), . Cada bien debe tener al menos un sustituto Hicks-Allen y probablemente no tenga complementos. En el caso de dos bienes, ambos deben ser sustitutos, de manera que se mantenga constante la utilidad, x2 debe aumentar cuando aumenta el precio de x1 (disminuyendo x1)manteniéndose constante p2 y I.

Conclusiones :

A partir de la fórmula : o en el particular de dos bienes :

.

Nota Técnica : Demostración Propiedad de Simetría (por Teorema de Young)

x1 y x2 son demandas compensadas (o hicksianas)

Nota Técnica : Demanda Compensada (Hicks) es Homogénea de Grado Cero en precios

Sea la demanda compensada por x1 : x1 = ƒ (p1, p2, U0)

Aplicamos la diferencial total :

Nota Técnica : Relación entre la Elasticidad Precio y Cruzada

Se tiene :

Para precios constantes, , se puede definir el cambio en el ingreso real como la suma de los cambios en las cantidades consumidas (diferencial total de la ecuación anterior).

si se mantiene constante el ingreso real (dI =0)

En el caso de 2 bienes se cumple lo siguiente :

Conclusiones :

.

Esta ecuación exige que la suma de los términos dentro del paréntisis sea positivo, aunque una de las elasticidades cruzadas puede ser negativa (complemento neto o Hicks-Allen con x1).

Luego de definir el ingreso real constante según Slutsky se tiene lo siguiente :

(*)

Si se mantiene constante el ingreso real del consumidor, el cambio en el gasto de x1, que se produce frente a un cambio infinitesimal (muy pequeño) en el precio de x1 debe ser igual al cambio en el gasto que se produce frente a un cambio infinitesimal en el precio de x2.

Por lo tanto, para cambios infinitesimales se cumple que :

Si (*) se transforma en elasticidades y se considera que : p1 = p2 = 1 se tiene lo siguiente :

De manera que si se reemplaza : , en este caso se tiene :

Generalizando :


ELASTICIDAD DE SUSTITUCIÓN ALLEN ( s ij )

Es útil cuando se comparan pares de bienes, describir no sólo que los bienes son sustitutos o complementos, sino más bien que tan fuerte es esa sustitución o complementariedad (grado) entre ambos bienes. El té y el azúcar pueden ser complementos, sin embargo, el zapato derecho con el izquierdo son mejores (o tienen un mayor grado de complementariedad). Para comparar los grados de sustitución se requiere de una medida que este libre de unidades (que no cambien dependiendo de si el té se mide en libras o kilos). Es por eso que se utiliza la medida de elasticidad, sin embargo, la elasticidad precio cruzada no entrega la información que se requiere, dado que :

La Elasticidad de Sustitución Allen es una medida útil en este caso y la definiremos como :

Esta puede ser una definición un poco arbitraria, sin embargo :

Entonces : . Se ha encontrado una medida del grado de sustitución entre xi y xj que es independiente de qué bien se nombre primero. Si hay solo dos bienes, la elasticidad de Sustitución Allen mide el inverso de la curvatura o convexidad de la función de utilidad, es decir una alta implica una curva de indiferencia que tiende a ser recta.

Nota Técnica : Demostración Vectorial de la Elasticidad de Sustitución Allen y su Relación con las Ecuaciones Generales de Hicks y Slutsky.

Por Propiedad de Simetría :

Relación con Ecuación de Hicks :

Relación con Ecuación de Slutsky :


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