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Estudo das Cônicas

Diferentes seções que podemos fazer em um cone produzem o que chamamos de curvas cônicas: a parábola, a elipse e a hipérbole.

Definição

Consideremos um plano A: Um ponto P(x,y), uma reta d e uma curva s, contida em A.

Dizemos que a curva s é uma cônica se para todo ponto P de s a razão entre as distâncias de P até F e de P até d for constante:

Chama-se:

F à foco

D à diretriz

E = excentricidade= d(PF) /d(Pd)

Se e < 1, temos uma elipse; se e = 1, temos uma parábola; se e >1, temos uma hipérbole

Parábola

Def.: É o conjunto dos pontos de um plano, equidistantes de um ponto fixo F e de uma reta fixa d do plano.

 

Equações da Parábola:

  1. Com o eixo de simetria coincidente com o eixo dos x e o vértice na origem.
  2. Seja P(x,y) e F(k,0) então y2 = 4kx

  3. Com o eixo de simetria coincidente com o eixo dos y e o vértice na origem
  4. Seja P(x,y) e F(0,k) então x2 = 4kx

  5. Com o eixo de simetria horizontal e vértice num ponto (m,n).
  6. Seja P(x,y) e F(m+k,n), então (y – n)2 = 4k(x – m)

  7. Com eixo de simetria vertical e vértice num ponto (m,n)

Seja P(x, y) e F(m, n+k) então (x – m)2 = 4k (y – n)

 

Exemplo:

Determinar a equação da parábola cujo foco é o ponto f(0,-2) e cuja diretriz é a reta y=2.

Verificamos ser o caso b (eixo de simetria coincidente com o eixo dos y), então a equação é x2 = 4ky.

Substituindo o valor de k, temos: x2 = -8y ou, x2 + 8y = 0.

Elipse:

É o conjunto dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é constante.

Equações da elipse

  1. Centrada na origem e com o eixo maior na horizontal
  2. Seja P(x,y) e 2a e 2b os eixos maiores e menores respectivamente,

    Então

    x2 / a2 + y2/b2 = 1

  3. Centrada na origem e com o eixo maior na vertical
  4. Seja P(x,y) e 2a e 2b os eixos maiores e menores respectivamente,

    Então,

    x2 / b2 + y2 / a2 = 1

Exemplo:

Obter a equação de uma elipse de vértices V1(0, -5) e V2(0, 5) e de focos F1(0, -2) e F2(0,2).

Trata-se do caso b (foco no eixo dos y)

Então,

x2 / b2 + y2 / a2 = 1

Sabemos que c = 2 e a = 5, podemos calcular b, ou seja:

a2 = b2 + c2, à 25 = b2 + 4 à b2 = 21

Substituindo os valores na equação temos:

x2 / 21 + y2 / 25 = 1 à 25x2 + 21y2 = 525

Hipérbole

 

 

Sejam F1 e F2 dois pontos fixos do plano. Chamamos de hipérbole ao conjunto dos pontos P do plano em que a diferença entre as distâncias de P a F1 e de P a F2 é constante.

Equações da hipérbole

  1. Com foco no eixo das abcissas (x)
  2. Seja P(x,y) e a e b os semi-eixos reais (transverso) e imaginário (conjugado).

    Então,

    x2 / a2 - y2 / b2 = 1

  3. Com foco no eixo das ordenadas (y)
  4. Seja P(x,y) e a e b os semi-eixos transverso e conjugado.

    Então,

    x2 / b2 - y2 / a2 = 1

Exemplo

Obter a equação da hipérbole cujos focos são F1(-6,0) e F2(6,0) e cujos vértices são V1(-3,0) e V2(3,0).

Trata-se do caso a (foco no eixo dos x)

Então,

x2 / a2 - y2 / b2 = 1

Sabemos que

a = 3 e c = 6, como c2 = a2 + b2 à 36 = 9 + b2 à b2 = 27

Substituindo na fórmula, temos que:

x2 / 9 - y2 / 27 = 1 ou ainda à 3x2 – y2 = 27

Exercícios

1. Obter a equação da diretriz de uma parábola cuja equação é x2 + 4x + 4y + 12 = 0.

Resp = y = -1

2. Determine a equação da parábola cujo foco é o ponto F(0,5) e cuja diretriz é a reta y = 5.

Resp = x2 + 20y = 0

3. Determine a equação do conjunto de pontos equidistantes da reta y = -3 e do ponto fixo F(0,3).

Resp = x2 - 12y = 0

4. Escreva a equação da elipse que tem focos F1(3,0) e F2(-3,0) e cujos vértices são A1(5,0) e A2(-5,0).

Resp = x2 / 25 + y2 / 16 = 1

5. Qual é a equação da elipse cujos focos são F1(0,-1) e F2(0,1) e cujos vértices são A1(0,-4) e A2(0,4).

Resp = x2 / 15 + y2 / 16 = 1

6. Determine a equação de um hipérbole cujos focos são F1(0,-3) e F2(0,3) e cujos vértices são A1(0,-1) e A2(0,1).

Resp = x2 / 8 + y2 / 1 = 1