Das "geizige Hausmeisterproblem"

Angenommen, Du bist irgendwo in NeuFünfLand Hausmeister in einer dieser bautechnischen Scheußlichkeiten ostdeutscher Plattenbauweise, bei denen nur die Betonfirmen glücklich geworden sind: Du bist pleite, die Mieter sind pleite -aber ein Telefon braucht trotzdem jeder.
Nun hat sich neulich die Fernmeldetechnik-Erdarbeitenbaubrigade ..äh.. der Telekombautrupp endlich bis in den Keller durchgebaggert, dort einen Abschlußkasten an die Wand genagelt und Dir anschließend freudestrahlend mitgeteilt, daß Du den Mietern verkünden kannst, sie könnten ab sofort Telefonanschlüsse bestellen.

Nun bist Du als arbeitsloser Akademiker ja nicht blöde: Deine fundierte Stasiausbildung über Telefontechnik und 40 Jahre sozialistische Mangelwirtschaft haben Dir mehr als genug Schläue antrainiert, als daß Du Deine Chance auf einen kleinen Nebenverdienst nicht sofort witterst:

Warum denn nicht eine kleine hausinterne Nebenstellenanlage (TK-Anlage) installieren, die jedem Deiner 100 Mieter einen eigenen Telefonanschluß zur Verfügung stellt? Diese vernetzt Du dann über ein paar wenige Leitungen mit der Telekom: Wenn jeder Mieter dafür DM 10,- im Monat zahlt, sparen sie kräftig gegenüber einem direkten Anschluß, Du nimmst jeden Monat DM 1000,- ein, beteiligst den Vermieter mit ein paar Prozent, der kann die Kosten für die TK-Anlage mit seinen Mieteinnahmen steuerlich verrechnen und Du machst per Gewerbeschein auf Minderkaufmann und setzt ab sofort nahezu alle Ausgaben als Geschäftskosten steuerlich ab -Kapitalismus ist doch eine schöne Sache, gelle?

Aber wieviel sind denn "ein paar Leitungen" wirklich? Du hast da nämlich leider ein typisches Kapitalistenproblem:
Jede Leitung zuviel schmälert Deinen Reingewinn, jede Leitung zuwenig führt zu verärgerten Mietern, weil sie nur dauernd Besetztzeichen hören anstatt zum Arbeits- oder Sozialamt durchzukommen...

Wieviel Leute können denn beispielsweise mit 5 gemeinsam genutzten Leitungen tatsächlich telefonieren?
Ein Pessimist würde rechnen: "5, denn wenn die alle gleichzeitig telefonieren, dann ist damit die gesamte Kapazität schon aufgebraucht." Ein Optimist würde dagegenhalten: "Im Durchschnitt telefoniert doch keiner länger als 0.5h pro Tag, also reichen die Leitungen für etwa 5*24h/0.5h = 240 Leute."

--Irgendwie liegt die Wahrheit wohl zwischen diesen beiden Extremen, aber wo?
Genau das ist die Gretchenfrage nach den Kapazitäten bei allen solchen Warteschlangensystemen; die Antwort dazu liefert das nächste Unten:




Warteschlangentheorie

Offensichtlich kommt es also nicht nur auf die Anzahl der potentiellen Telefonierer an, sondern auch auf deren Telefonieverhalten:

Dieses Teilnehmerverhalten läßt sich in der Praxis nicht exakt vorhersagen; offensichtlich sind die Belegungsversuche der Leitung ein statistischer Zufallsprozeß -und dieser läßt sich als "Warteschlangenmodell" auffassen:

An den tatsächlich vorhandenen Leitungen treten gemäß einer Zufallsvariablen zu zufälligen Zeitpunkten Belegungsversuche zufälliger Länge auf, wodurch es u.U. zu Warteschlangen kommen kann (ähnlich dem Ausgang Deines nächsten Wochenendebeutezugs im örtlichen Supermarkt am Samstag vormittag vor der dortigen Kasse...)

Macht man gewisse Annahmen über die mathematische Art dieser Zufallsvariablen, so kann man all dies formelmäßig fassen -aber schieben wir zunächst noch die Mathematik feige vor uns her...

Erlang

Ein Großteil der dazu notwendigen theoretischen Arbeit stammt von dem dänischen Mathematiker A.K. Erlang, dem zu Ehren die Einheit des Telefonverkehrs auch als "Erlang" definiert wurde. (Damals gab es zwar noch keine Mobiltelefone, aber dieselben mathematischen Ergebnisse gelten natürlich ebenso für eine Vielzahl ähnlicher natürlicher Systeme:
Verkehrsfluß an Straßen, Kundenabfertigung an Supermarktkassen, Eingang von Steuererklärungen beim Finanzamt, die wartende Meute vor dem einzig funktionierenden Toilettenhäuschen beim Bryan-Adams-Konzert, ...)
Gerade die Größe "Verkehr von xyz Erlang" wirklich zu verstehen, ist schon der erste Stolperstein: 1 Erlang entspricht dem Verkehr, der eine Übertragungsstrecke komplett auslastet. Eine (von vielen) Definitionen der Einheit "Erlang" ist demnach über die "Auslastung" einer Leitung:

Der Telefonverkehr ausgedrückt in Erlang berechnet sich aus dem Verhältnis der Zeit, zu welcher eine Leitung tatsächlich benutzt wurde (oder benutzt werden sollte) dividiert durch die Zeit, zu der sie insgesamt zur Verfügung gestanden hätte.

Beispiel: Eine Leitung wurde insgesamt 1h am Tag benutzt, obwohl sie theoretisch 24h zur Verfügung gestanden hätte; der Verkehr betrug somit 1[h]/24[h] = 1/24 * [h]/[h] = 1/24 = 0,0416667 [Erlang]

An dieser ersten Definition kann man schon einige Merkwürdigkeiten erkennen: So ist der Verkehr eigentlich eine dimensionslose Größe. Trotzdem existiert "irgendwie" ein Bezug zur Zeit, denn hätte man sich für denselben Tag auf den Zeitraum von 8h..20h beschränkt, so wären in dieser Zeit vielleicht schon 0,8h des Telefonverkehrs angefallen, mit derselben Rechnung hätte sich somit ein Verkehr von 0,8/12 = 0,0666667 [Erlang] ergeben -dieses letzte Problem des Zeitbezugs kann man sich am Analogon Geschwindigkeit und zurückgelegte Strecke veranschaulichen: Wenn man auf einer Fahrt von A nach B momentan auf der Autobahn unterwegs ist und der Tacho 230 km/h zeigt, dann ist dies zwar ein Indiz dafür, daß man ordentlich Strecke zurücklegt (und offensichtlich genug Moos für ein schnelles Auto hatte...), aber wie schnell man dadurch insgesamt über die gesamte Strecke hinweg sein wird, ergibt sich aus dieser Momentaufnahme nicht.
Der Mathematiker würde jetzt sagen, daß die Fahrstrecke das Zeitintegral der Momentangeschwindigkeiten auf der Fahrt von A nach B ist; die 99% Nichtmathematiker der Bevölkerung, denen das zu hoch ist, bilden dagegen einfach den Mittelwert Entfernung / Fahrtzeit und nennen das Kind "Durchschnittsgeschwindigkeit".
Das könnte man zwar für den Telefonieverkehr auch machen, wäre aber eine zu starke Vereinfachung -warum, wird wieder am Vergleich klar: Wenn man anderntags von B nach C fahren muß und dies zufälligerweise eine reine Autobahnstrecke ist, dann hilft einem zur Abschätzung der hierfür benötigten Zeit die alte Durchschnittsgeschwindigkeit für die Fahrt von A nach B gar nichts.

Die "Busy Hour"

Übertragen auf den Telefonverkehr heißt das somit: Verwendet man zur Netzplanung den (punktuellen) Spitzenwert des Verkehrs, dann überdimensioniert man das Netz hoffnungslos; berechnet man die Kapazitäten andererseits auf dem durchschnittlichen Verkehr, dann unterdimensioniert man.
Als Kompromiß muß deshalb die sog. Hauptverkehrsstunde oder neudeutsch: Busy Hour herhalten, die definiert ist als der Tageszeitabschnitt von vier aufeinanderfolgenden Viertelstunden mit dem meisten Telefonverkehr.

Verkehrswert, Verkehrsmenge, Belegungen, Angebot... -ein paar Begriffe

So, unser geiziger Hausmeister weiß nun also schon, wie er zu einem halbwegs vernünftigen Verkehrswert (also einem Quotienten aus Gesprächen je Zeitpunkt) kommt: Am einfachsten befragt er einen seiner Kollegen zwei Plattensilos weiter, ob er ihm eine Statistik des Telefonverkehrs seiner Mieter zeigen kann. Klappt das nicht, dann befragt er seine eigenen Mieter, wann, wieviel, wieoft und wielange sie denn so pro Tag telefonieren, trägt die Anzahl dieser Gespräche (=Belegungen) über einer 24h-Zeitachse auf und sucht sich die Stunde heraus, zu der dieses Diagramm quasi am "dicksten" ist: Das ist seine o.g. Busy Hour und die Anzahl der in dieser Stunde durchschnittlich auftretenden Gespräche der entsprechende Hauptverkehrsstundenverkehrswert.

Lassen wir ihn also feststellen, daß dies die Zeit zwischen 9:15h und 10:15h ist (weil die Kassenstelle des Sozialamtes erst um 9h aufmacht und der Beamte erst noch eine Viertelstunde Kaffee kochen muß) und daß von seinen 100 Mietern während dieser Stunde durchschnittlich immer 2,04 Gespräche gleichzeitig geführt werden (Behördengespräche sind bekanntlich laaaaaaang, bis man zum richtigen Sachbearbeiter durchgestellt ist, dieser den richtigen Aktenordner gefunden, abgestaubt, geöffnet, durchgelesen, nachgedacht, sein Urteil gemacht und ausformuliert hat!): Auf diesen Hauptverkehrsstundenverkehrswert hin muß unser Hausmeister nun planen: Diese 2,04 Erlang sind das sog. Verkehrsangebot, das seine Telefonanlage verarbeiten muß.

Die Erlang-B-Formel

Heißt das jetzt, daß unser Hausmeister einfach nur auf die nächste ganze Zahl an Leitungen aufrunden, also 3 Leitungen bei der Telekom bestellen muß und aller Sorgen ledig ist?
Nein, denn wie bereits erwähnt sind die festgestellten 2,04 Erlang Verkehr nur ein statistischer Durchschnittswert -jetzt erst kommt die eigentliche Mathematik zum Tragen!
Es existieren eine ganze Reihe mathematischer Modelle, das einfachste und meistgebräuchliche davon verwendet die sog. Erlang-B-Formel: Unter der Annahme, dass die Belegungsversuche einen Poisson-Prozess darstellen (d.h.: einer Normalverteilungsannahme gehorchen) und Blockierungen (das sind wegen Überlastung nicht zustandegekommene Gesprächsversuche) "zu Verlust" gehen (heißt: Der Betreffende es nicht unmittelbar nochmals probiert), besteht folgender Zusammenhang zwischen (B)lockierungswahrscheinlichkeit, Verkehrs(A)ngebot (=zu vermittelnder Verkehr, gemessen in Erlang) und der A(N)zahl der zur Verfügung stehenden Leitungen: B=A^N!/(Summe_i=0..N(A^i/i!)
Fällt diese Formel so einfach vom Himmel? Nein, natürlich nicht; wer sich vor ein bißchen Mathematik nicht scheut, darf einen etwas längeren, aber trotzdem hochinteressanten Exkurs zur Herleitung der Formel mitmachen, muß aber nicht.



- Ein bißchen Mathematik...

Vorab kurz die "Roadmap" dorthin:

Dieses Vorgehen hat den Vorteil, daß der mathematisch ausdauernde Leser dieselben Schritte für viele andere Prozesse als nur den Erlangprozeß fast 1:1 für deren Herleitung übernehmen kann (und die mathematischen Pfeifen haben sich ja eh nicht bis auf diese Seite vorgetraut...)


Fangen wir also mit dem Poissonschen Ankunftsprozeß an: Dieser Prozeß ist die mathematische Modellierung eines zeitlich homogenen Stromes von Ankünften in einem System (seien es Telefonate in einem Telefonsystem, Kunden an einer Supermarktkasse oder Autos an einer Kreuzung, etc.).
Geht man davon aus, daß diese Ankünfte voneinander unabhängig sind, so kann man nach der mathematisch zugrundeliegenden Funktion fragen, welche die Anzahl solcher Ankünfte pro Zeiteinheit (z.B. pro Viertelstunde) beschreibt.
Aber zuvor ein kleiner Einwurf: Ist die Annahme der Unabhängigkeit von Ereignissen in der Praxis sinnvoll? -Radio Eriwan meint dazu: Im Prinzip ja, denn wenn Hein Müller in Buxtehude telefoniert und Knutilde Knödel in Oberursel ebenfalls, dann hat dies meistens keinerlei Bezug zueinander. Es gibt zwar Ausnahmen, z.B. am 1.1. -dem "D-Day" einer jeden Telefongesellschaft-, wenn alle Welt seltsamerweise gleichzeitig den Drang verspürt, nachts um 0:00h Telefoneinheiten verbraten zu müssen, aber diese seltenen Fälle stören uns hier nicht weiter.

Natürlich ist diese erwähnte Funktion ein Zufallsprozeß, aber stellte man tatsächlich ein armes, unterbezahltes Schw*** einmal einen Tag lang mit der Stoppuhr und einem Blatt Papier hin, über die Häufigkeitsverteilung gleichzeitiger Ankünfte pro Zeiteinheit eine Strichliste zu führen, so käme dabei eine charakteristische Funktion heraus, die in etwa so aussähe:
Poissonverteilungsfunktion

[Ein bißchen Überlegen bringt einen dazu, daß man diese Art Verlauf eigentlich auch intuitiv erwartet hätte, wenn man sich denn nur die Mühe gemacht hätte, vorher darüber nachzudenken: Die Wahrscheinlichkeit, daß sehr wenige oder gar keine Ankünfte in einem bestimmten Zeitraum stattfinden, ist gering; die Wahrscheinlichkeit, daß sehr viele bis hin zu unendlich vielen Ankünlfte in denselbem festen Zeitraum stattfinden, wird auch immer geringer und geht schließlich gegen Null; irgendwo dazwischen muß dann natürlich ein Maximum liegen.]

Dem Mathematiker ist diese Funktion wohlbekannt: Es ist die sog. Poissonverteilungsfunktion P;k(t) = (lambda*t)^k/k!*exp(-lambda*t)
(und wieder einmal ist damit ein System gefunden, in dem die Natur auf wundersame Weise eine ihrer beliebten Exponentialfunktion versteckt hat...).
Dabei ist Lambda eine prozeßabhängige Größe, die als Ankunftsrate (oder Intensität) bezeichnet wird.

--So, Schritt zurück und kurze Zusammenfassung, um das Gehirn zu entknäueln: Wir haben nun also eine Formel gefunden, welche die Wahrscheinlichkeit P ausdrückt, mit der in einem Zeitraum t gerade k Ankünfte (Telefonate, Supermarktkunden, Autos, ...) in einem System mit einer Ankunftsrate von Lambda Ankünften stattfinden (wer noch um eine Veranschaulichung für diese Ankunftsrate ringt: Für Poissonprozesse ist diese identisch zum mittleren Abstand zwischen zwei Ankünften).
-Na toll, und wie weiter? Nun, für einen Augenblick vergessen wir kurz die gefundene Formel und werfen einen Blick über den Zaun hinüber ins Spielfeld der Informatiker:


Markov-Ketten

Was das schon wieder ist? -Nun, Markov-Ketten sind das, was dabei herauskommen dürfte, wenn man drei Theoretiker -einen Informatiker, einen Nachrichtentechniker und einen Mathematiker- zusammen mit einem Blatt Papier und Bleistift für eine Stunde irgendwo einsperrt...
Nein, im Ernst: Die Informatik kennt den endlichen Automaten als anschauliches Beschreibungsmittel für eine Vielzahl von Problemen: Ein solcher Automat besteht vereinfacht gesprochen aus Zuständen und Übergängen, die beschreiben, wie das System von einem Zustand aus in einen anderen wechseln darf und was beim Übergang passiert.

Paßt man dieses prinzipielle Konzept ein bißchen an, indem man die Übergänge von einem Zustand in den nächsten mit den entsprechenden Übergangswahrscheinlichkeiten (oder äquivalent dazu: Den Zustandsübergangsraten) bezeichnet und die Wahrscheinlichkeiten dafür einträgt, daß sich das System jeweils in den einzelnen Zuständen befindet, dann ist man schon beim sog. stochastischen Automaten der Nachrichtentechnik angelangt:

Markov-Automat

Wenn -wie oben bereits gezeichnet- Zustandsübergänge nur in "benachbarte" Zustände möglich sind, hat man den Sonderfall der Markov-Kette -voilà, in dem Augenblick wird unser Mathematiker munter, brabbelt etwas von "stationärem Gleichgewicht", krallt sich das Blatt Papier und kritzelt ein paar Gleichungen hin, um die Pk zu berechnen:

Tatsächlich ist nach dem ganzen Vorgeplänkel die Sache nicht mehr allzu schwierig: Wenn wir obiges Diagramm als Darstellung des Auslastungsgrades eines Telefonnetzes interpretieren, wobei die numerierten Zustände die Anzahl der gleichzeitig im System befindlichen Teilnehmer darstellen, dann sind Übergänge x->x+1 hinzukommende, neue Gespräche und umgekehrt entspricht ein Übergang x+1->x jeweils einem beendeten Gespräch. Die Pk(t) sind dann die Wahrscheinlicheiten dafür, daß zu einem Zeitpunkt t gerade k Gespräche stattfinden sollten -wenn, ja, wenn denn nur dieses Telefonnetz für eben jene k gleichzeitigen Gespräche auch immer genügend Kapazitäten hätte!.

Wenn wir diese Pk aber kennen, dann können wir zumindest eine handfeste Dimensionierung der Netzkapazitäten vornehmen: Wollen wir erreichen, daß im Mittel zum Zeitpunkt t bspw. 95% aller theoretischen Gespräche auch realisiert werden können, so muß k mindestens so groß gewählt werden, daß Pk(t) höchstens 5% beträgt -denn dies heißt ja nichts anderes, als daß sich das System in max. 5% aller Fälle in einer Situation befindet, in der alle vorhandenen k Leitungen belegt sind, so daß ein dann noch neuhinzukommendes Gespräch mangels Kapazität nicht mehr bedient werden kann.

Nun zum bereits erwähnten stationären Gleichgewicht: Es ist vernünftig, davon auszugehen, daß die Zahl der neubegonnenen Telefonate je Zustand in etwa gleich der Anzahl der in diesem Zustand beendeten Telefonate ist (wäre dem nicht so, dann gäbe es nach kurzer Zeit entweder überhaupt keinen Telefonierer mehr im System -oder aber zig Millionen, was die Realität unseres geizigen Hausmeisters und seines Wohnsilos offensichtlich beidemale ziemlich schlecht wiedergeben würde...).
Betrachten wir darüberhinaus immer denselben Zeitpunkt (Erinnerung: Wir wollten uns eh nur auf die "Busy Hour" beschränken!), dann kann t entfallen, und alles eben gesagte läßt sich mathematisch wie folgt zusammenfassen:

  1. lambda[0]*P[0] = mu[1]*P[1]
    Das ist die Stationärbedingung wie man sie für den allerersten Zustand aus dem obigen Zustandsdiagramm ablesen kann: Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich das System aus dem Zustand "Es telefoniert überhaupt niemand" in den Zustand "Es telefoniert einer" bewegt ist genausogroß, wie die umgekehrte Richtung.
  2. lambda[i-1]*P[i-1] + mu[i+1]*P[i+1] = mu[i]*P[i] + lambda[i]*P[i] (für i=1..N-1, also für alle "inneren Zustände")
    Das ist wieder die normale Stationärbedingung: Die Zahl der je Zustand neubegonnenen und beendeten Gespräche halten sich im Mittel die Waage.
  3. lambda[N-1]*P[N-1] = mu[N]*P[N]
    Das ist nochmals die Stationärbedingung für den letzten Zustand aus obigem Zustandsdiagramm.
  4. Summe_i=0..N(P[i]) = 1
    Das ist der simple "Satz der totalen Wahrscheinlichkeit": In irgendeinem der Zustände des Diagramms muß sich das System ja befinden, wenn es die Realität wiedergeben soll.

Wie man (nicht...) leicht sieht, folgert aus obigen vier Gleichungen:


Warning! Heavy mathematics ahead!

Read on your own risk! No liability for severe brain damages!

...YOU HAVE BEEN WARNED!!!...

Naja, Du hast es ja unbedingt so gewollt...

P[k] = Produkt_i=0..k-1(lambda[i]/mu[i+1]*P[0]):
Diese Formel beweisen wir mit vollständiger Induktion über k (was, Du weißt nicht, was das ist und hast Dich trotzdem hergetraut? -Hau bloß ab!!!):

Induktionsvoraussetzung:
Die Induktionsannahme gilt für k = 1, denn P[1] = lambda[0]/mu[1]*P[0] ist gerade die Gleichung (1) (nur umsortiert).
Induktionsschritt:
Die Induktionsannahme sei für alle k <= x bewiesen; zu zeigen ist, daß sie dann auch für k=x+1 gilt.
Nehmen wir also Gleichung (2), ersetzen dort überall die Pk mit k <= x durch die hierfür gültige Induktionsannahme und sortieren wir die Terme so um, daß das nicht ersetzbare Pi+1 auf einer Seite allein stehen bleibt:
P[i+1] = ( (lambda[i]+mu[i])*Produkt_v=1..i(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]

- lambda[i-1]*Produkt_v=1..i-1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0] ) / mu[i+1]
(Dabei haben wir die Laufvariable in v umbenennen müssen und gehen sinnvollerweise davon aus, daß die Sterberate mü<>0 ist) -Kleinkram....

Wenn die Induktionsannahme zutreffen soll, dann muß dies identisch sein zum direkt berechneten Ergebnis obiger Gleichung für Pi+1, also (Laufvariablen wieder entsprechend umbenannt) zu...
P[i+1] = Produkt_v=1..i+1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]

Deshalb setzen wir diese beiden Teile probehalber gleich und zeigen, daß dies stimmt:
( (lambda[i]+mu[i])*Produkt_v=1..i(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]

- lambda[i-1]*Produkt_v=1..i-1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0] ) / mu[i+1] = 

Produkt_v=1..i+1(lambda[v-1]/mu[v])*P[0]

Kürzen von P0 und Produkt_v=1..i-1(lambda[v-1]/mu[v]) liefert:
( (lambda[i]+mu[i])*lambda[i-1]/mu[i] - lambda[i-1] )/mu[i+1]

= lambda[i-1]/mu[i] * lambda[i]/mu[i+1]

Weiteres einfaches Auskürzen und Auflösen ergibt, daß die beiden Seiten tatsächlich übereinstimmen, so daß der Schritt von x nach x+1 damit korrekt war. Bingo!



Nun zur zweiten Formel:

P[0] = 1/(Summe_i=1..N(Produkt_j=0..i-1(lambda[j]/mu[j+1])))

Der Beweis geht mit Hilfe der gerade eben bewiesenen ersten Formel recht flott, denn setzt man diese für alle Pi in (4) ein, dann ergibt sich gerade:
1 = Summe_i=0..N(Produkt_j=1..i(lambda[j-1]/mu[j])*P[0])

Auflösen dieser Gleichung nach P0 liefert schon fast, was wir wollten:
P[0] = 1/(Summe_i=0..N(Produkt_j=1..i(lambda[j-1]/mu[j])))
-Nur, daß die Summe zunächst noch von 0..N läuft, statt von 1..N.
Das ist aber schnell behoben, denn zieht man die Summe auseinander in die beiden Teile i=0 und i=1..N, so hat man für i=0 ein leeres Produkt, das mathematisch ja gerade zu 1 definiert ist.

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--Huch, sieht das schrecklich aus, aber wie bereits eingangs gesagt, wollten wir ja bewußt zunächst die allgemeinen Formeln herleiten und uns dann auf den einfachen Erlang-Prozeß spezialisieren -also schön cool bleiben:

Der Spezialfall "Erlang"

Jetzt ist wieder eine kurze Verschnaufpause fällig:

Nun müssen wir diese Puzzlesteine nur noch zusammensetzen: Dazu gilt es herauszufinden, welche Vereinfachungen die Erlang-Annahme in obigen Formeln erlaubt und diese dann nach Pk aufzulösen: Das so gefundene k ist dann zugleich die Anzahl der zu realisierenden Telefonleitungen, d.h.: In der Praxis "schneiden" wir das obige Zustandsdiagramm rechts dieses k komplett ab, setzen also k = Nneu (mit der Konsequenz, daß Situationen mit mehr als N gleichzeitig sprechenden Teilnehmern damit mangels Kapazität nicht mehr möglich sind: Der Kunde kann dann eben nicht telefonieren).
Ergo:

Einfaches Einsetzen dieser drei Vereinfachungen in obige Formeln für Pk und P0 liefert dann aber sofort die Erlang-B-Formel:
( (lambda/mu)^N/N! ) / (Summe_i=0..N( (lambda/mu)^i/i! ))

(In der üblichen Form wird dabei nur der Quotient lambda/mü als Konstante A zusammengefaßt)




Ergebnis

Damit haben wir nun alles beisammen, um die eingangs gestellte Frage nach den benötigten Leitungskapazitäten beantworten zu können:
Angenommen, unser geiziger Hausmeister ist mit einer Blockierungsrate von 10% zufrieden (d.h.: Zur Hauptverkehrsstunde des Tages können immerhin noch 9 von 10 Gesprächswünschen auf Anhieb erfüllt werden), dann ist B=0,1 und mit unserem ermittelten Verkehrsangebot von A=2,04 Erlang liefert die ErlangB-Formel die Aussage, daß seine hausinterne TK-Anlage N=4 Leitungen benötigt
-keine schlechte Ersparnis gegenüber den 100 Direktanschlüssen, die er für seine 100 Mieter sonst benötigt hätte!

(Wer's nachrechnen will, stößt auf ein letztes Problemchen: Die ErlangB-Formel läßt sich nicht direkt nach der gesuchten Anschlußzahl N auflösen; entweder braucht man dazu eine Tabelle zum Nachschlagen -oder etwas moderner ein kleines Programm.

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